ACOUSTIQUE - Propagation et production des sons

ACOUSTIQUE - Propagation et production des sons

1. Historique

L’intérêt porté par l’homme aux phénomènes sonores remonte à la nuit des temps, mais cet intérêt ne fut pas dès l’origine d’ordre scientifique. Les premières recherches concernant les phénomènes sonores datent du VI^e siècle avant l’ère chrétienne, époque à laquelle l’école pythagoricienne se pencha sur le fonctionnement des cordes vibrantes et construisit une échelle musicale. Par la suite, des réflexions et des observations visant à découvrir la nature du phénomène sonore se sont déroulées sur plusieurs siècles. L’idée que le son est un phénomène de nature ondulatoire naquit de l’observation des ondes à la surface de l’eau. (La notion d’onde peut être définie de façon rudimentaire comme une perturbation oscillatoire qui se propage à partir d’une source.) L’éventualité que le son possède un tel comportement fut énoncée notamment par le philosophe grec Chrysippe (III^e s. av. J.-C.), par l’architecte et ingénieur romain Vitruve (I^er s. av. J.-C.) et par le philosophe romain Boèce (V^e s. apr. J.-C.). L’interprétation ondulatoire prit corps également dans les réflexions du grec Aristote (IV^e s. av. J.-C.) qui énonça la génération du mouvement sonore de l’air par une source «poussant vers l’avant l’air contigu de telle manière que le son voyage...».

Un important résultat expérimental, suggéré par les conclusions auxquelles aboutirent les réflexions menées au cours des dix-sept premiers siècles de notre ère et à la suite des Anciens depuis Pythagore, est que le mouvement de l’air, généré par un corps dont la vibration est la source d’un son musical pur, est également vibratoire et de même fréquence que le mouvement du corps lui-même. L’histoire de cette découverte est jumelée avec le développement des lois de fréquences naturelles des cordes vibrantes et de l’interprétation des consonances musicales. Les principaux rôles dans cette découverte ont été joués par le P. Marin Mersenne (1588-1648), philosophe et scientifique français souvent considéré comme le «père de l’acoustique», et par le célèbre physicien et astronome italien Galileo Galilei (1564-1642), dont les Discours mathématiques concernant deux sciences nouvelles (1638) renferment les discussions sur la notion de fréquence les plus lucides de celles qui avaient été proposées jusqu’alors. L’acoustique, en relation avec le développement de la mécanique dont elle est, sous bien des aspects, une branche, était dorénavant détachée de l’art musical pour devenir une véritable science du phénomène sonore.

Proposée par Mersenne dans son Harmonie universelle (1637), la description de la première détermination absolue de la fréquence d’un son pur audible implique que l’auteur connaissait auparavant la valeur (1/2) du rapport des fréquences de deux cordes vibrantes émettant une note musicale et son octave. L’harmonie des deux notes perçues était alors explicable si le rapport des fréquences oscillatoires de l’air était aussi de 1/2. L’analogie avec les ondes à la surface de l’eau fut renforcée non seulement par l’idée selon laquelle le mouvement de l’air associé à un son musical est oscillatoire, mais aussi par le fait que le son se propage à une vitesse finie. Cette analogie fut également étayée par la connaissance de l’aptitude du son à contourner les obstacles, à diffuser dans toutes les directions à partir de la source, à interférer avec lui-même. Vint encore s’ajouter l’expérience de Robert Boyle (1660) sur le rayonnement sonore d’une petite horloge enfermée dans une cloche de verre où il fit un vide partiel, expérience qui montra la nécessité de la présence d’air pour la production et la transmission du bruit.

Cependant, le point de vue ondulatoire ne fut pas partagé par tout le monde. Le philosophe et mathématicien français Gassendi, par exemple, contemporain de Mersenne et de Galilée, affirma que le son était dû à un courant d’atomes émis par l’objet sonore; célérité et fréquence du son étaient interprétées respectivement comme la vitesse des atomes et leur nombre émis par unité de temps...

Le conflit apparent entre théorie des rayons et théorie des ondes joua un rôle majeur dans l’histoire de la science sœur, l’optique, mais la théorie du son fut seulement développée comme une théorie ondulatoire. Le savant hollandais Christiaan Huygens, dans son Traité de la lumière publié en 1690, donna une explication globale des phénomènes sonores et lumineux; il les interpréta tous deux comme étant dus à la propagation d’ondes longitudinales, associées aux vibrations des molécules des corps élastiques dans le cas du son et aux mouvements ondulatoires de l’éther, substrat hypothétique des phénomènes lumineux, dans le cas de la lumière.

La théorie mathématique de la propagation sonore a commencé avec Isaac Newton (1642-1727), célèbre mathématicien, physicien, astronome et philosophe anglais. Son œuvre a été universellement reconnue d’une fécondité extrême. Les progrès substantiels dans le développement de la théorie de la propagation du son qui apparurent au XVIII^e siècle avec le Suisse Leonhard Euler (1707-1783), les Français Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) et Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) en témoignent. Durant cette époque, la physique du continu ou théorie des champs (dont le champ sonore) commença à accéder à sa structure mathématique définitive. Depuis lors, les théories, aussi complexes soient-elles, sont considérées pour la plus grande part comme des raffinements de celles qui datent de cette période.

Ces recherches à caractère mathématique, du XVIII^e siècle, ont profondément marqué la progression de la connaissance en acoustique; plus généralement, elles ont introduit les fondements théoriques qui permettent l’interprétation de l’ensemble des phénomènes de la physique classique. La conjonction de ces découvertes fondamentales et de l’apparition des méthodes et techniques expérimentales est à l’origine des multiples développements que connut l’acoustique au cours du XIX^e siècle. Parmi ceux-ci, citons ceux qui permirent l’analyse des sons, la mesure de la vitesse de propagation des perturbations sonores et la visualisation des vibrations dans l’onde acoustique.

L’analyse des sons complexes a été effectuée expérimentalement par le physiologiste et physicien allemand, Hermann von Helmholtz (1821-1894) au moyen de résonateurs qui portent son nom. Il a montré qu’à tout son musical de hauteur donnée est associé un timbre qui résulte de la superposition au son fondamental d’une série d’harmoniques. Ce que Helmholtz déduisit d’expériences fait suite aux travaux sur la fréquence des sons du physicien français Félix Savart (1791-1841) et avait déjà été pressenti au XVIII^e siècle par le célèbre musicien Jean-Philippe Rameau (1683-1764), puis, suivant une voie toute différente, par le mathématicien français Gaspard Monge (1746-1818). L’analyse mathématique de ces sons complexes repose sur les célèbres travaux du mathématicien français Joseph Fourier (1768-1830), qui font toujours autorité.

La vitesse de propagation du son a fait l’objet de nombreuses mesures. À son époque, Mersenne proposa une valeur approchée; mais les premières mesures sérieuses ont été effectuées dans un programme de l’Accademia del Cimento de Florence en 1660. Différentes expériences ont été menées en Angleterre et en France, les plus célèbres restant celles du physicien et chimiste français Victor Regnault, effectuées vers 1860-1870 dans des tubes de longueurs allant jusqu’à 4 900 mètres (égouts de Paris).

La visualisation des vibrations de l’onde acoustique a été proposée pour la première fois en 1862 par le physicien français d’origine allemande Karl Rudolf Kœnig (1832-1901). Il inventa la capsule manométrique qui, excitée par une onde sonore, modulait le jet de gaz alimentant une flamme; cette modulation se répercutait sur la hauteur de la flamme dont la projection au moyen de miroirs tournants donnait l’image de la perturbation acoustique.

À l’aube du XX^e siècle, le couronnement des recherches en acoustique a été marqué par l’œuvre magistrale du savant anglais John William Strutt, lord Rayleigh (1842-1919), qui, notamment, synthétisa les connaissances acquises dans son traité La Théorie du son , dont la première édition parut en 1877 (t. I) et 1885 (t. II). Les bases de l’acoustique étaient désormais posées.

L’histoire, au XX^e siècle, de cette vaste science qu’est l’acoustique est parsemée de telles ramifications qu’elle ne peut faire l’objet d’un résumé en quelques lignes; les rubriques spécialisées (voir les corrélats et les paragraphes qui suivent) présentent ces différents aspects modernes. Tout au plus, citons nous ici, pour conclure, quelques noms illustres qui ont marqué leur époque dans des domaines divers (piézo-électricité, acoustique sous-marine, acoustique architecturale, ultra-acoustique, acoustique physiologique, acoustique physique, acoustique non linéaire...): les frères Pierre et Paul-Jacques Curie, Paul Langevin, Léon Brillouin, Wallace C. Sabine, Philip M. Morse, Georg von Bekesy, James Lighthill...

2. Le phénomène sonore

La production et la propagation des sons sont liées à l’existence d’un mouvement vibratoire. À la source, le milieu est déformé (par un choc, une compression, etc.) et, par suite de son élasticité, la déformation gagne les molécules voisines qui, dérangées de leur position d’équilibre, agissent à leur tour de proche en proche. Le phénomène se produit sans transport de matière. Les particules du milieu entrent en vibration les unes après les autres autour de leur position d’équilibre. La déformation se propage dans le milieu selon une onde. On dit que le son se déplace en ondes sonores ou acoustiques . Une image habituellement donnée pour illustrer ce phénomène est celle des rides se déplaçant sur une nappe d’eau dans laquelle on a jeté une pierre. La distance parcourue par une ride dans l’unité de temps s’appelle la célérité de l’onde; la distance entre deux crêtes ou deux creux successifs s’appelle la longueur d’onde.

La célérité du son dans l’air dépend de la température. À la température ordinaire, elle est de l’ordre de 340 m/s. Dans d’autres milieux que l’air, le son se propage à des vitesses différentes. Ainsi, dans l’eau à la température ordinaire, elle atteint 1 500 m/s.

Dans le langage courant, on distingue les sons forts et les sons faibles. Cette distinction est liée à l’amplitude des vibrations de l’air qui transmet les sons à l’oreille. Devant la bouche d’une personne parlant normalement la pression de l’air varie seulement d’un millionième de la pression atmosphérique. Cela montre la sensibilité de l’organe du sens de l’ouïe. La propagation des vibrations est en même temps une propagation d’énergie mécanique. Pour engendrer une sensation sonore chez une personne jeune, il suffit d’une énergie de 10^-16 watt par centimètre carré.

L’énergie transmise par unité de surface s’appelle l’intensité de l’onde sonore. Elle peut se mesurer en watt par centimètre carré, mais on lui préfère une unité moderne: le décibel. À proprement parler, le décibel est une unité relative, pour laquelle il faut choisir une intensité de référence. Par commodité, on prend souvent pour cette dernière l’intensité correspondant au seuil d’audibilité. Une conversation normale a alors une intensité d’environ 50 dB à une distance de quelques mètres.

On constate que plus on est éloigné de la source, plus faible est l’intensité sonore. Cela vient de ce que l’énergie totale, à un instant donné, se propage dans toutes les directions et que, la distance augmentant, elle est répartie sur des surfaces de plus en plus grandes, ce qui diminue d’autant l’énergie par unité de surface, c’est-à-dire l’intensité. Ainsi, pour un milieu illimité, homogène, l’énergie se retrouve après un certain temps sur une sphère dont la surface augmente comme le carré de la distance. L’intensité sonore décroît donc comme l’inverse du carré de la distance. Cette situation idéale est rarement rencontrée car les milieux ne sont ni illimités ni bien souvent homogènes. Cette loi de l’inverse du carré de la distance n’est pas entièrement satisfaisante car elle néglige une autre cause de diminution de l’énergie sonore: l’absorption du son et sa transformation en chaleur. Cette absorption est très grande dans les milieux visqueux. Elle est d’autre part renforcée par les réflexion, réfraction et diffusion du son.

Le son, comme les autres phénomènes ondulatoires (lumière), manifeste les propriétés de réflexion et de réfraction. Un exemple familier de réflexion est l’écho produit lorsqu’un son fort et net est émis devant un mur élevé. Moins évident peut-être est le renforcement du son dans une salle. En effet l’auditeur reçoit, outre l’onde directe, les ondes réfléchies sur les murs, le sol et le plafond, ce qui renforce l’intensité. Cependant le phénomène peut avoir des aspects négatifs. Les ondes réfléchies n’arrivent pas simultanément à l’oreille de l’auditeur, ni en même temps que l’onde directe. Il y a réverbération du son, ce qui peut nuire à la compréhension. Il faut alors aménager la salle, c’est l’objet de l’acoustique architecturale.

La réfraction des sons est moins évidente. Elle peut avoir lieu lorsque l’onde se propage dans un milieu non homogène où règne un gradient de température ou de salinité. Elle rend compte des différences notables d’audibilité à l’air libre en fonction des conditions météorologiques.

La réflexion et la réfraction du son jouent un rôle capital dans la méthode de sondage sous-marin utilisant les ondes acoustiques.

Une des propriétés les plus frappantes du son est sa capacité de contourner les obstacles. C’est une illustration d’une des caractéristiques générales des ondes: la diffraction. Un exemple intéressant en est donné par la tête de l’homme. La théorie et l’expérience montrent qu’un son produit une plus grande intensité si sa source est située sur la ligne des oreilles que si elle est placée à la même distance en avant ou en arrière de la tête. Lorsque les obstacles sont relativement petits (par exemple, des gouttelettes de brouillard), l’onde est diffusée dans toutes les directions.

Outre l’intensité, une caractéristique essentielle des sons est la hauteur. Lorsqu’on entend successivement deux sons, on distingue instinctivement un son plus aigu et un son plus grave. La grandeur physique qui correspond à cette qualité est la fréquence. Cela se voit aisément dans l’étude des sirènes. Dans ces appareils, la perturbation sonore est créée par les interruptions brusques d’un filet d’air tombant sur un disque tournant, percé de trous. Lorsque la vitesse de rotation du disque augmente (ce qui correspond à une fréquence plus grande), le son est plus aigu. La relation entre la hauteur et la fréquence du son n’est cependant pas toujours aussi simple, comme on peut s’en rendre compte avec la voix humaine et les instruments de musique. C’est pourquoi il est plus avantageux de se limiter, au départ, à des sons purs, émis par exemple par un diapason.

Dans une onde sonore purement sinusoïdale, le temps nécessaire à un cycle complet de variation de la pression s’appelle la période. L’inverse de la période exprimée en secondes est la fréquence de la vibration exprimée en hertz. La distance parcourue par l’onde pendant une période s’appelle la longueur d’onde.

Un des traits importants relatifs aux sons purs est la différence de sensibilité de l’oreille à leur égard. Des vibrations de fréquences inférieures à 15 hertz ne produisent aucune sensation sonore. Au-dessus de 20 000 hertz, l’audibilité des sons disparaît chez la majorité des êtres humains. En fait, le seuil d’audibilité diminue en fréquence avec l’âge; il dépend également de l’intensité. Cependant, le fait important est qu’il existe des fréquences au-delà desquelles, quelle que soit l’intensité, les ondes acoustiques ne sont pas perçues: on les appelle ultra-sons. Ils jouent un rôle important dans l’acoustique moderne.

Dans la nature, il y a en fait très peu de sons purs. Les sons réels, lorsqu’ils sont périodiques, sont des combinaisons plus ou moins compliquées de sons partiels sinusoïdaux de fréquences définies. Une ou plusieurs fréquences sont en général prépondérantes et donnent au son une qualité physiologique particulière: le timbre.

Nous avons déjà mentionné le fait qu’une onde sonore se propage dans toutes les directions. D’autre part, il est possible de créer, avec des ondes de fréquences suffisamment grandes, des faisceaux sonores. Pour décrire ces phénomènes, similaires à ceux de l’optique, il est commode d’introduire les notions de surfaces d’onde et de rayons. La surface d’onde est une surface telle qu’en tous points la vibration sonore est la même. Les familles de surface admettent des normales communes appelées rayons. Un moteur d’avion crée, par exemple, une onde sonore qui se propage dans l’air environnant selon des ondes sphériques.

Propagation des sons

Fonction d’onde

L’étude mathématique des ondes sonores est en général très compliquée; aussi est-il préférable de commencer cette étude en simplifiant le problème. Pour cela on observe ce qui se passe sur une longue corde parfaitement souple. Si l’on produit, à l’extrémité de la corde initialement horizontale, une déformation, celle-ci se propage le long de la corde d’une façon facile à repérer (fig. 1).

Dans l’exemple ci-dessus, l’onde se propage dans une seule direction. La déformation, perpendiculaire à la direction de propagation, est appelée onde transversale . En cela, elle diffère d’une onde acoustique. En effet, dans cette dernière, la déformation qui est une compression de l’air se produit dans la même direction que la propagation de l’onde; on l’appelle onde longitudinale . Chaque particule du fluide se déplace autour de sa position d’équilibre dans la direction de propagation de l’onde. Cependant, l’analyse mathématique, dans ses aspects fondamentaux, est la même pour les deux types d’ondes. Si nous prenons un instantané de la corde déformée à un instant t = t ⁰, elle aura, par exemple, la forme de la figure 1a. La déformation, mesurée par la distance 﨡 d’un point de la corde à sa position d’équilibre, peut être représentée par une fonction f (x ), x désignant la distance le long de la corde. Au temps t ¹(t ¹ 礪 t ⁰), la déformation s’est déplacée le long de la corde d’une distance c (t ¹ 漣 t ⁰), c désignant la célérité de l’onde. La même fonction f (x ) réapparaît, mais décalée en B. Et de même, à un temps ultérieur t ², elle réapparaît décalée en C. Le problème mathématique est donc de représenter une fonction f (x ) qui se déplace dans le sens positif de l’axe Ox à la vitesse c . La solution est la fonction:

Pour une onde se déplaçant dans le sens négatif, la solution est:

Les déformations peuvent être quelconques mais les plus intéressantes sont les déformations périodiques et, parmi celles-ci, les plus simples sont les fonctions sinusoïdales:

on peut identifier les équations (3) à (1) si on choisit 諸/k égal à la célérité c . Pour déterminer la signification de 諸, considérons un point de la corde à la distance x fixée et filmons son mouvement. On voit qu’il s’agit d’une vibration sinusoïdale de période T = 2 神/ 諸 ou de fréquence 益 = 諸/2 神. Pour déterminer k , prenons une photographie instantanée de la corde à un temps t ⁰ déterminé. On voit que la corde a une forme de sinusoïde. La distance entre deux crêtes ou deux creux successifs, appelée longueur d’onde, est égale à 2 神/k .

On a donc:

Le déplacement 﨡 s’écrit maintenant:

et on obtient la relation importante:

Équation de propagation des ondes

En prenant les dérivées partielles secondes de 﨡 par rapport au temps t et à la distance x on obtient l’équation:

En fait, cette équation est valable aussi bien pour (1) et (2). On l’appelle l’équation générale de propagation dans la direction x . Sa solution générale est la somme des fonctions d’ondes (1) et (2) qui représentent des ondes se déplaçant respectivement dans le sens positif et négatif de l’axe Ox .

L’intérêt d’une telle équation est qu’elle résume sous une forme mathématique compacte une très grande quantité de données sur les phénomènes physiques.

La généralisation, au cas d’une déformation qui se propage dans tout l’espace à trois dimensions (coordonnées: x , y et z ), est donnée par l’équation:

Dans tous les cas où l’étude physique d’un phénomène conduit à cette équation, il y a propagation d’une onde. Le cas le plus intéressant en acoustique est évidemment celui d’un fluide. La description physique d’un fluide se fait à l’aide de trois équations qui sont l’équation de continuité, l’équation du mouvement et l’équation d’état.

La première exprime simplement que, tant que le fluide reste continu, il y a conservation de la masse. La deuxième est l’équation fondamentale de la dynamique selon laquelle la variation de vitesse d’une particule est égale à la force par unité de masse agissant sur cette particule. Enfin, la troisième relie les variations de pression aux variations de densité: la pression acoustique p ^e (excès algébrique de la pression réelle sur la pression d’équilibre) est proportionnelle à l’excès de densité 福^e . Le coefficient de proportionnalité s’écrit d’ordinaire c ².

En tenant compte des trois équations du fluide on arrive précisément pour la pression acoustique p ^e à une équation du même type que (8):

Physiquement, elle signifie que la pression acoustique se propage avec la célérité c le long de l’axe. On peut montrer que le déplacement satisfait à une équation identique.

Il faut souligner que la déduction mathématique de cette équation suppose que la déformation du fluide n’est pas trop grande c’est-à-dire que la variation relative de densité et le gradient 煉 﨡/ 煉x du déplacement d’une particule sont très petits devant l’unité. Ces conditions sont satisfaites pour les phénomènes acoustiques ordinaires associés à la voix humaine, à la reproduction des sons, et même à leur transmission (par exemple sondage sous-marin). Mais elles ne sont plus valables pour les explosions, l’expulsion des gaz d’une tuyère d’avion ni dans le phénomène de cavitation (création, par le son, de bulles au sein d’un liquide). Dans ces dernières conditions, l’équation de propagation devient:

où 塚 est le rapport c ^p /c ^v des chaleurs massiques du gaz à pression et à volume constants.

La solution de cette équation n’est plus du tout aussi simple que celle de (7) à laquelle elle se réduit pour 煉 﨡/ 煉x 廉 1.

L’étude mathématique montre que les différentes parties de l’onde ne se déplacent plus à la même célérité c , mais que le sommet avance plus vite que la base. Une onde à l’origine symétrique se déforme progressivement (fig. 2). Pour que l’onde garde son profil, il faut qu’il y ait un amortissement dû par exemple à la viscosité.

Célérité du son dans les fluides

La célérité du son dans un fluide parfait de masse spécifique 福 est donnée par l’expression:

Or le coefficient de compressibilité 﨑 a pour expression: 﨑 = 福^e /( 福 p ^e ). De là on déduit pour c :

Dans les liquides, la compressibilité est très faible et la densité reste pratiquement constante. On peut remplacer 福 par 福⁰. Dans les gaz, la situation est entièrement différente. Pour un gaz parfait, l’équation d’état est: p / 福 = RT, où R est la constante des gaz parfaits et T la température absolue. On obtient donc: p ^e / 福^e = RT = p / 福 si la température reste constante et la célérité est c = 連p / 福 pour une déformation isotherme.

En fait, dans les conditions ordinaires, la déformation a lieu de façon adiabatique et l’équation de Laplace la régissant s’écrit: p / 福 size=1^塚 = p ⁰/ 福⁰ size=1^塚, 塚 ayant la même signification que ci-dessus. On en déduit que c = 連 塚p / 福, résultat théorique qui est en accord parfait avec les résultats expérimentaux et sert à la mesure de la valeur de 塚 pour les gaz.

Pour un gaz parfait, l’équation p / 福 = RT montre que la célérité du son est indépendante de la pression mais dépend de la température et en fait: c = 連 塚RT.

Pour l’air sec, dans les conditions normales, cela est en bon accord avec les mesures faites en plein air, mais il faut mentionner que ces mesures sont rendues difficiles par le fait que les conditions normales sont rarement réalisées et que des hétérogénéités et des perturbations dues aux vents interviennent.

Pour les gaz réels, l’équation d’état devient:

ce qui donne pour la célérité du son:

Sous cette forme, il est clair que la célérité du son dépend aussi bien de la pression que de la température. Dans le cas de l’air, la correction est faible sauf aux très basses températures. La mesure de c peut fournir une méthode pour déterminer 塚 et le coefficient du viriel 廓.

La célérité du son dépend de façon plus nette de la pression au voisinage du point critique. Dans l’anhydride carbonique à 31 ⁰C, la valeur de c passe de 260 m/s à 20 atmosphères à un minimum de 150 m/s à 71 atmosphères pour croître très rapidement à 330 m/s à 90 atmosphères.

Les formules données jusqu’ici ne présentent aucune dépendance vis-à-vis de la fréquence, ce qui correspond à l’expérience tant qu’on se limite aux gaz difficilement liquéfiables et aux basses fréquences. Mais, lorsque le rapport fréquence/pression augmente, tous les gaz manifestent des phénomènes de dispersion, et la célérité augmente avec 益/ 福. Dans le cas des liquides, la variation de la compressibilité avec la température est beaucoup plus compliquée que dans le cas des gaz et il n’existe aucune formule générale. Le cas de l’eau a été étudié (G. W. Willard); la formule suivante représente assez bien la variation de la vitesse du son en m/s avec la température exprimée en degrés Celsius.

Cette vitesse passe par un maximum à 74 ⁰C. Pour tous les autres liquides, c décroît avec la température.

Les solutions salines obéissent à une équation du même type que celle de l’eau avec des températures différentes pour la célérité maximale. Le cas de l’eau de mer est d’un intérêt particulier à cause des sondages sous-marins. Le problème se complique car, outre la température t et la salinité S, intervient la profondeur h . Une formule empirique (L. E. Kinsler et A. R. Frey) a été trouvée; elle est valable pour les domaines usuellement étudiés:

Les liquides ne manifestent expérimentalement aucune dispersion, bien que des considérations théoriques suggèrent qu’elle pourrait exister aux très grandes fréquences (plusieurs milliers de mégahertz).

Propagation de l’énergie dans les ondes acoustiques. Intensité

Pour déformer un fluide en un endroit, il faut fournir un travail représentant une dépense d’énergie. La propagation de la déformation correspond à une propagation de l’énergie initiale.

Le flux moyen d’énergie sonore par unité de temps et par unité de surface se calcule en prenant la moyenne du produit de la pression acoustique p ^e et de la vitesse d’écoulement 煉 﨡/ 煉t .

L’analyse montre que l’intensité I d’une onde plane peut s’exprimer par:

Elle se mesure en W/m². Mais, en acoustique, on lui préfère une unité relative, le décibel. Si deux ondes acoustiques ont des intensités absolues I¹ et I², on dit que la différence de leurs niveaux d’intensité est de D décibels avec D = 10 log¹⁰ I²/I¹. Ainsi si I² = 2 I¹, D = 3,01 dB. Pour utiliser cette méthode de mesure il faut fixer un niveau de référence. Souvent on choisit le niveau correspondant à une pression acoustique de 10^-1 Pa dans l’air, soit à peu près le niveau normal pour une conversation. Le minimum audible est situé à 70 dB en dessous de ce niveau, tandis que le seuil de douleur est 70 dB au-dessus. Les nombres sont approximatifs et dépendent de la fréquence.

D’après l’équation (15), il est bien clair que l’intensité du son pour une même pression dépend du milieu par le facteur 福⁰c ; par exemple, elle est environ 3 800 fois plus grande pour l’eau que pour l’air à la pression ordinaire. En conséquence, la même pression acoustique produit dans l’eau une intensité beaucoup plus faible que dans l’air, et il peut sembler plus difficile de produire un son intense dans l’eau que dans l’air. Mais cela ne tient pas compte des considérations relatives à la source sonore et il se révèle que, à fréquence et pression déterminées, une source solide est plus efficace dans l’eau (et les liquides en général) que dans l’air.

Intensité des ondes acoustiques sphériques

Une formule analogue à la précédente s’applique aux ondes sphériques. Dans une onde sphérique, l’amplitude de la pression acoustique et de la vitesse des particules n’est pas constante comme pour une onde plane. Les expressions mathématiques sont compliquées. Après calcul, on trouve pour l’intensité absolue à la distance r de la source:

Flux d’énergie sonore à travers une surface

Quand une onde sonore vient tomber sur une surface séparant deux milieux aux propriétés physiques différentes, une partie de l’onde est transmise, l’autre réfléchie (fig. 3).

Soit OA la surface séparant les milieux I et II dont les densités moyennes à l’équilibre sont respectivement 福¹ et 福². Le son se propage dans I et II avec les célérités c ¹ et c ². Une onde incidente i frappe la surface de séparation et donne naissance à une onde transmise t et à une onde réfléchie r . Nous supposerons une incidence normale. Désignons par p ⁱ , p ^r et p ^t les amplitudes des pressions acoustiques des ondes incidente, réfléchie et transmise. Ces trois quantités sont déterminées par les conditions aux limites qui expriment que la somme des pressions acoustiques p ⁱ et p ^r est égale à la pression p ^t et que la somme des vitesses des particules dans le milieu I est égale à la vitesse des particules dans le milieu II. Ces deux relations permettent d’obtenir:

En se servant de l’expression donnant l’intensité absolue, on peut calculer le pouvoir de transmission T:

On notera que T dépend uniquement du rapport 福²c ²/ 福¹c ¹, c’est-à-dire du rapport de ce qu’on appelle les résistances acoustiques des deux milieux. Si celles-ci sont égales, malgré l’existence de la surface de séparation, T = 1. Dans tous les autres cas, T 麗 1. On voit le rôle important que joue la résistance acoustique dans la transmission des ondes acoustiques. Par exemple, si le premier milieu est un gaz et le second un solide, les résistances acoustiques sont très différentes et T est très petit, ce qui signifie que l’onde est presque intégralement réfléchie. Le pouvoir de réflexion est donné par la relation:

Les équations précédentes rendent bien compte des faits d’expérience commune, à savoir la faible transmission du son de l’air dans l’eau ou dans un mur solide, et donc la très forte réflexion résultante.

Les formules donnant R et T dans les cas d’incidence oblique font intervenir les angles d’incidence et de réfraction. Elles sont importantes pour la transmission du son dans l’atmosphère où les couches d’air ont des propriétés différentes et pour la transmission dans l’eau de mer où se manifestent des gradients de température.

Impédance acoustique

L’importance du produit 福c dans la transmission d’une onde plane à incidence normale à travers une surface séparant deux milieux attire l’attention sur la raison de son nom de résistance acoustique. Cela suggère évidemment une analogie électrique.

De fait, il est facile de vérifier que le rapport de la pression acoustique à la vitesse des particules dans une onde acoustique plane se propageant dans un fluide est précisément 福c . L’équivalent électrique de la pression acoustique est la tension électrique et celui de la vitesse de déplacement, le courant électrique; leur rapport est bien la résistance électrique. Cependant, pour une plus grande rigueur, il est préférable de faire l’analogie avec le courant électrique alternatif dans lequel tension et intensité sont des fonctions sinusoïdales du temps. Leur rapport est appelé impédance. Par suite, 煉 﨡/ 煉t apparaît comme une densité de courant acoustique. On peut donc généraliser et définir l’impédance acoustique Z:

est le courant acoustique volumique et S l’aire du front d’onde.

Dans la théorie des circuits alternatifs, Z est en général composé d’une résistance et d’une réactance. La résistance représente la partie du courant en phase avec la tension, la réactance la partie en quadrature de phase. Dans un circuit R, L, C, l’impédance est

où R est la partie résistive et 行 la partie réactive; et le courant est en retard de phase sur la tension d’un angle 﨏, tel que tg 﨏 = R/ 行.

Dans une onde plane, pression acoustique et vitesse de déplacement des particules sont en phase, la réactance est nulle et l’impédance se réduit à une pure résistance. Ce n’est pas là un fait général. Dans une onde acoustique sphérique, les deux parties existent; la signification physique est liée à la propagation des ondes dans toutes les directions. La réactance d’une onde sphérique divergente est positive, tandis que celle d’une onde convergente est négative.

La notion d’impédance se révèle être d’un grand intérêt en acoustique. Elle permet de remplacer les calculs de transmissions acoustiques par des calculs analogues électriques. D’autre part, de nombreux effets acoustiques peuvent être facilement évalués grâce à la connaissance des impédances acoustiques en certains points essentiels. Par exemple, le rendement d’un cornet acoustique utilisé comme émetteur ou récepteur se mesure facilement par l’impédance acoustique au col. Les problèmes d’acoustique architecturale qui font intervenir la réflection du son par les murs peuvent souvent être simplifiés par l’usage de la notation en impédance.

Transmission sélective. Filtre

La transmission de l’énergie acoustique à travers la surface séparant deux milieux est indépendante de la fréquence, comme le montrent les relations (18) et (18 bis ); dans ce cas, les milieux I et II étaient illimités. La situation est différente si un des milieux est fini, tel le milieu II dans la figure 4.

L’analyse de la transmission peut être répétée en tenant compte néanmoins de l’existence d’ondes multiples réfléchies aux interfaces du milieu II. En utilisant les conditions aux limites appropriées, on obtient, en cas d’incidence normale, pour le pouvoir de transmission T (rapport de l’intensité de l’onde 3 à l’intensité de l’onde incidente 1):

Dans cette expression R¹, R², R³ représentent les résistances acoustiques des milieux I, II, III et k ² = 諸/c ²; T dépend de la fréquence par l’intermédiaire du terme sin² k ²l . L’effet de transmission sélective peut se voir facilement dans le cas où les milieux extrêmes sont identiques. On a alors:

Pour sin² k ²l = 0, T = 1. T passe par une valeur minimale, pour sin² k ²l = 1:

qui est d’autant plus petite que la différence entre R¹ et R² est grande. La courbe (fig. 5) donne la représentation de T en fonction de la fréquence. Il y a transmission sélective maximale (100 p. 100) pour les fréquences 益ⁿ = nc /2 l , et transmission sélective minimale pour les fréquences 2 (n + 1)c /2 l (n étant un nombre entier). Le phénomène est lié à la possibilité d’existence d’ondes stationnaires dans le milieu II.

La discussion précédente suggère la possibilité de disposer d’une suite de milieux qui agira comme un filtre acoustique, c’est-à-dire qui transmettra des ondes de certaines fréquences, mais qui arrêtera entièrement des ondes d’autres fréquences. Le cas idéal est celui que représente la figure 6.

L’étude théorique montre qu’une structure possédant de telles propriétés peut être construite approximativement en répétant la suite des milieux I et II (fig. 7). L’approximation est d’autant meilleure que le nombre de motifs répétés est plus grand. Le filtre envisagé ci-dessus repose sur l’alternance des propriétés de deux milieux différents; mais ce n’est pas une nécessité.

La figure 8 montre un autre type possible de filtre constitué par la succession de tubes cylindriques S¹ et S² et de longueurs AB = CD = EF pour les tubes larges et BC = DE pour les tubes étroits. Une telle structure agit comme un filtre passe-bas et sa courbe de transmission est très similaire à ce qui est représenté dans la figure 6. Le rapport des sections S²/S¹ joue le même rôle que le rapport des résistances acoustiques de l’exemple précédent. Les longueurs des tubes ont une influence décisive sur les largeurs des bandes de fréquences transmises et atténuées. De nombreux autres types de filtres acoustiques ont été construits pour supprimer certaines bandes de fréquences dans des appareils de ventilation et d’autres équipements qui engendrent du bruit par écoulement d’air ou d’autres gaz. Dans de nombreux instruments de musique intervient la filtration acoustique.

Il faut souligner que la transmission sélective du son, discutée dans ce paragraphe, n’est pas due à une absorption dépendant réellement de la fréquence. L’effet de filtre résulte de ce que l’appareil refuse réellement de transmettre certaines fréquences.

Absorption et dispersion du son dans les fluides

On a déjà examiné la diminution de l’intensité du son due à la propagation d’ondes sphériques à partir de la source. Mais il existe une perte supplémentaire d’intensité dont l’explication précédente ne permet pas de rendre compte. Cette perte d’intensité se manifeste même quand le son passe à travers un milieu plus ou moins homogène où n’existe ni transmission sélective ni effet de filtre. La cause de cette perte est une absorption effective d’intensité sonore et sa transformation en chaleur. Une source évidente d’absorption est constituée par le frottement interne du milieu fluide traversé par les ondes. Un exemple d’une telle friction est donné par la viscosité. Une autre source d’absorption du son dans les fluides est la conduction et le rayonnement de la chaleur. Quand l’onde de compression traverse le fluide, la température est plus élevée au point de compression maximale. Dans la théorie simplifiée donnée ci-dessus, l’énergie calorifique correspondant à cet excès de température est transmise intégralement aux tranches adjacentes pour y produire une compression. Mais cela ne tient pas compte du fait qu’il y a conduction et rayonnement de chaleur dus à la différence de température. Cela signifie que l’énergie nécessaire à la propagation de l’onde est perdue en partie, ce qui correspond bien à l’absorption du son.

L’analyse est compliquée et conduit à une formule intégrant les effets combinés de la viscosité et de la conduction thermique. Elle est en assez bon accord avec les résultats expérimentaux dans le cas des gaz monoatomiques (par exemple: les gaz «nobles»). Cependant, pour les gaz et liquides di- et polyatomiques, elle n’est plus valable dans certains domaines de fréquence où l’absorption est beaucoup plus importante que prévue. Pour la grande majorité des liquides, l’absorption dans une large bande de fréquences varie approximativement comme le carré de la fréquence. Mais les résultats expérimentaux sont presque toujours supérieurs aux valeurs théoriques (d’un facteur trois dans le cas de l’eau et jusqu’à un facteur cent pour des liquides organiques comme le benzène).

Les désaccords entre la formule et les résultats expérimentaux ont conduit à des recherches théoriques sur les mécanismes d’absorption du son. Un de ces mécanismes se base sur le fait que l’énergie d’une onde de compression ne sert pas uniquement à augmenter la vitesse moyenne de translation des molécules. Une partie, par l’intermédiaire des collisions moléculaires, passe dans d’autres états d’énergie (par exemple, rotation et vibration dans le cas des molécules di- et polyatomiques). Le calcul montre qu’il y a un retard dans le processus de transfert d’énergie, c’est-à-dire qu’il faut un certain temps à l’énergie pour revenir sous la forme de translation après être passée sous la forme de rotation ou de vibration. Cet intervalle de temps s’appelle le temps de relaxation. Il est responsable de l’existence d’une différence de phase entre l’onde et le changement d’énergie de translation, ce qui entraîne la perte, à chaque cycle, d’une partie de l’énergie. Ce schéma théorique rend compte assez précisément des résultats expérimentaux de l’absorption dans les gaz polyatomiques.

Ce type de relaxation est dit thermique puisqu’il correspond en fait à une augmentation apparente de la chaleur massique. On peut définir pour les gaz une fréquence de relaxation liée au temps de relaxation 精 par la relation: 益^R = 1/2 精. Ainsi, les mesures d’absorption du son dans les gaz servent à indiquer l’existence d’effet de relaxation et à mesurer 精.

Dans de nombreux gaz qui ont fait l’objet d’une étude, la fréquence de relaxation se trouve dans le domaine ultrasonique (par exemple, pour l’hydrogène à la pression ordinaire, elle est de 10 mégahertz). Les mesures des fréquences de relaxation ont apporté des renseignements précieux sur les états internes d’énergie des molécules de gaz. Les mêmes mesures sont d’un intérêt considérable pour les ingénieurs. Elles permettent l’étude des écoulements à grande vitesse des gaz ou des vapeurs dans les turbines.

La situation, en ce qui concerne l’absorption du son dans les liquides, est intéressante, bien que moins satisfaisante que dans le cas des gaz. Dans de nombreux liquides (benzène et tétrachlorure de carbone par exemple), l’excès d’absorption par rapport à ce que donne la théorie classique (viscosité et conduction thermique) peut être expliqué par la relaxation thermique. Cependant ce n’est pas le cas pour l’eau. La meilleure théorie proposée (Hall, 1948) suppose que les molécules d’eau peuvent prendre deux types d’arrangement. Dans l’un, elles sont disposées à peu près selon un système tétragonal comme dans la glace, tandis que, dans l’autre, elles sont plus compactes (système cubique centré). Ces deux arrangements sont les équivalents des états de translation et d’énergie interne des molécules, et une théorie de la relaxation peut être élaborée, dite relaxation structurale.

La dispersion du son dans les fluides n’a été mentionnée que brièvement et demande un examen plus détaillé. C’est essentiellement un phénomène de très haute fréquence ou ultrasonique. De façon plus précise, dans les gaz, il se manifeste pour des rapports entre la fréquence et la pression importants; on l’observe à des fréquences relativement faibles (quoique ultrasoniques), si la pression est suffisamment basse. Cependant il faut observer que la dispersion du son est un phénomène de second ordre par rapport à l’absorption: la célérité du son diffère de sa valeur classique:

par des termes de l’ordre de c 諸² 精², tandis que le coefficient d’absorption dépend de 精.

La dispersion du son dans les liquides a été particulièrement difficile à mettre en évidence expérimentalement, car la célérité est très sensible à la température et il est difficile de maintenir cette dernière constante.

Ondes acoustiques dans un milieu de dimensions finies. Ondes stationnaires dans un tuyau

Jusqu’ici, nous avons envisagé uniquement des ondes se propageant dans une seule direction. Cela n’est rigoureusement possible que dans un milieu illimité. Mais dès que l’espace est de dimension finie, l’onde sonore se réfléchit sur un obstacle conduisant à des ondes se propageant dans plusieurs directions, ce qui a des conséquences importantes.

Prenons l’exemple d’un tuyau cylindrique de longueur l et de section S, fermé à ses deux extrémités. Une déformation produite au sein du gaz du tuyau se propage dans les deux directions, se réfléchit aux deux extrémités, et produit ainsi une série d’ondes parcourant le tube dans deux directions. Ces ondes doivent être périodiques et satisfaire aux conditions aux limites, c’est-à-dire produire des déplacements nuls aux extrémités fixes du tube. Cela conduit à la condition: sin kl = 0 et les fréquences possibles sont:

où n est un entier et c la célérité du son dans le tuyau. Ce sont les fréquences des ondes sinusoïdales qui peuvent s’établir dans le tuyau en respectant les conditions aux limites. On les appelle fréquences propres de vibration de la colonne d’air. Les fréquences supérieures appelées harmoniques sont des multiples de la fréquence fondamentale. La fréquence fondamentale est 益¹ = 益^f = c /2 l .

Dans le cas d’un tuyau cylindrique ouvert aux deux extrémités, le même ensemble de fréquences propres est, en première approximation, valable, bien que les conditions aux limites soient différentes. En effet, aux extrémités on peut admettre que la pression acoustique est nulle puisque le tuyau est ouvert à l’air environnant. Cela n’est pas tout à fait évident, mais l’étude à l’aide d’une sonde acoustique confirme à peu près cette hypothèse. Il n’est pas surprenant que l’accord ne soit pas parfait, car l’air à l’ouverture du tuyau possède une certaine inertie et doit être déplacé par l’onde.

Pour un tuyau fermé à un bout et ouvert à l’autre, les conditions aux limites exprimées ci-dessus donnent pour les fréquences propres: 益ⁿ = (n + 1/2) c /2 l mais, par suite de l’effet de bord de l’extrémité ouverte, il y a lieu de les modifier en:

où S est la section du tube et C une quantité ayant les dimensions d’une longueur et connue sous le nom de conductivité acoustique de l’orifice. Dans une onde correspondant à un mode propre de vibration d’un tuyau ouvert aux deux extrémités, il y a certaines positions pour lesquelles cos n 神x /l = 0, et qui correspondent à un déplacement nul des particules. Cela ne peut pas avoir lieu dans une onde progressive. C’est la raison du nom d’ondes stationnaires donné à ce phénomène. Les points de déplacement nul sont appelés les nœuds et les points de déplacement maximal: (face=F0019 瑩cos n 神x /l 瑩 = 1), les ventres.

La distance entre deux nœuds ou deux ventres successifs est une demi-longueur d’onde. Un nœud de déplacement correspond à un ventre de pression acoustique et réciproquement.

Lorsque les conditions initiales sont quelconques, le déplacement d’une particule dans un tuyau de longueur l , ouvert aux deux extrémités, est la somme prise pour tous les modes de vibrations, c’est-à-dire:

Le principe sur lequel repose ce calcul est connu sous le nom de principe de superposition. Il fut énoncé par D. Bernoulli en 1755. Il constitue le fondement de ce que l’on appelle l’analyse de Fourier d’un signal quelconque en composantes sinusoïdales.

L’élongation initiale en chaque point est donnée par la relation:

et la vitesse initiale par la relation:

On notera que 﨡⁰(x ) et 煉 﨡⁰(x )/ 煉t sont représentés par une somme de fonctions trigonométriques en x . Le calcul des coefficients Aⁿ et Bⁿ se fait d’après la règle de Fourier:

Cela suppose bien entendu la validité mathématique du développement de Fourier; en fait, les valeurs possibles physiquement satisfont toujours à ces conditions mathématiques. Le même genre d’analyse est valable non seulement pour un tuyau sonore mais aussi pour n’importe quel espace de dimensions limitées, par exemple une pièce. Dans ce cas, les ondes stationnaires sont à trois dimensions et, avec l’absorption des parois, jouent un rôle fondamental dans l’acoustique architecturale et musicale.

Paquet d’ondes. Vitesse de groupe

Dans l’étude de la propagation des ondes acoustiques, nous nous sommes limités jusqu’à présent à des ondes progressives de la forme 﨡 = A cos ( 諸t 漣 kx ) illimitées dans l’espace et le temps, ou à des ondes stationnaires telles que: 﨡 = A sin 諸t 練 sin kx limitées dans l’espace mais pas dans le temps. Ce sont bien entendu des cas théoriques. En fait, on rencontre dans la réalité des ondes limitées dans l’espace et dans le temps (fig. 9). On les appelle des trains d’ondes ou groupes d’ondes.

La transformée de Fourier permet de représenter un tel train d’ondes par une superposition infinie et continue d’ondes sinusoïdales, à condition que les fréquences ne forment plus un ensemble discret (comme les ondes de vibrations dans un tuyau sonore), mais un ensemble infini et continu.

L’amplitude de chaque composante sinusoïdale dépend de la fréquence et peut devenir négligeable pour des fréquences suffisamment grandes ou petites. Ainsi la bande de fréquences nécessaires pour la décomposition du signal sera finie si le signal est de longueur finie.

Reprenons l’exemple de la figure 9. Le signal est:

L’amplitude A (k ) de la composante sinusoïdale correspondant au paramètre k est:

La variation de A (k ) avec (k ⁰ 漣 k ) montre que l’intervalle du paramètre k nécessaire a la représentation adéquate du signal est inversement proportionnel à L, longueur du signal. Un train d’onde très long nécessite seulement un intervalle très petit de k et à la limite où L秊, le train devient simplement cos k ⁰(x 漣 ct ). En revanche, si le signal est très petit, k ⁰ 漣 k devient très grand.

Les considérations précédentes s’appliquent seulement si la célérité c de l’onde est indépendante de la fréquence. S’il y a dispersion la situation est plus compliquée. On peut montrer alors que le train d’onde peut être représenté approximativement par une seule onde sinusoïdale de pulsation 諸⁰ et d’amplitude A, fonction du temps et de l’espace par l’intermédiaire de la quantité: x 漣 (d 諸/dk )⁰t . La signification de (d 諸/dk )⁰ est la suivante: la dispersion du milieu s’exprime par le fait que 諸 est une fonction de k : 諸 = 諸(k ); on prend alors la dérivée par rapport à k pour la valeur k = k ⁰.

Dans la propagation du signal, le point d’amplitude maximal (c’est-à-dire celui où les ondes partielles s’ajoutent pour former ce qu’on peut appeler un groupe d’ondes) se déplace à la vitesse U. La vitesse de déplacement du groupe s’appelle la vitesse de groupe. On peut aussi l’écrire:

où la vitesse de phase c est exprimée en fonction de la fréquence 益 et où c ⁰ est la vitesse de phase moyenne dans le groupe.

Si c est constante et égale à c ⁰, la vitesse de groupe U coïncide avec la vitesse de phase. Dans les fluides, la dispersion du don est très faible pour les fréquences utilisées et la vitesse de groupe ne diffère pas en général de la vitesse de phase. Mais il est bon de ne pas oublier que dans l’utilisation des techniques des signaux pulsés pour la mesure de la vitesse du son dans les fluides, la grandeur mesurée est en toute rigueur la vitesse de groupe.

Pour la dispersion du son dans les fluides, due à la viscosité, à la conduction de la chaleur ou à des phénomènes de relaxation, la vitesse en général augmente avec la fréquence. Par suite, 煉c / 煉 益 礪 0 et U 礪 c ⁰. La vitesse de groupe est plus grande que la vitesse de phase moyenne. Il est intéressant de noter que c’est à l’opposé de ce qui se passe dans la dispersion normale de la lumière.

L’avantage de l’utilisation des impulsions en ondes courtes dans la mesure des propriétés du son est évident, puisqu’elle permet de séparer les réflexions gênantes de l’onde directe. La méthode par écho, de mesure des profondeurs marines et de détection des objets submergés dans l’eau (sonar), a pour base la technique des impulsions.

D’après la définition de la vitesse de groupe, il est plausible de supposer que c’est aussi la vitesse de propagation de l’énergie dans le train d’ondes. C’est à peu près vrai, bien que la question demande un examen plus précis.

Il est souvent utile d’amplifier une impulsion acoustique en la transformant en une impulsion électrique à l’aide d’un capteur et ensuite de l’envoyer dans un amplificateur. Si l’on veut que la forme de l’impulsion originale soit conservée, il faut que la courbe de réponse de l’amplificateur soit linéaire sur un intervalle suffisant de fréquences. Autrement, un effet de distorsion intervient.

Pression de radiation

Jusqu’à présent on a utilisé la notion de pression acoustique, c’est-à-dire la différence entre la pression effective créée par la déformation et la pression à l’équilibre. Pour des ondes planes harmoniques progressives, la pression acoustique est une fonction sinusoïdale du temps et de l’espace, et sa moyenne dans le temps est nulle. Par contre, sa valeur quadratique moyenne est différente de zéro. On peut montrer qu’à une onde acoustique progressive correspond une pression dont la moyenne n’est pas nulle et qui, par suite, s’ajoute à la pression statique existante. On l’appelle la pression de radiation. C’est un effet du second ordre car elle est bien plus faible que la valeur quadratique moyenne de la pression acoustique. Dans les équations acoustiques ordinaires, elle est donc négligée. Cependant elle est toujours physiquement présente à cause de la non-linéarité des équations acoustiques lorsqu’on y inclut les termes d’ordre supérieur.

L’expression la plus simple pour la pression de radiation est:

où p ^e et 煉 﨡/ 煉t sont les valeurs quadratiques moyennes de la pression acoustique et de la vitesse de déplacement des particules. Comme la vitesse 煉 﨡/ 煉t est toujours plus petite que la célérité c , p ^r est très inférieur à p ^e . En dépit de sa valeur très faible, p ^r produit des effets importants; un objet placé sur le trajet d’une onde acoustique subit une pression continue. On peut utiliser ce phénomène pour déterminer l’intensité du son car p ^r est proportionnel à l’intensité.

Ondes de choc

On a vu précédemment que, dans une onde de forte intensité, une déformation qui, à l’origine, était symétrique se propage avec un front de plus en plus avancé. Ce processus est atténué dans le cas d’un fluide tel que l’air ou l’eau par des mécanismes de frottement.

Le résultat peut être la formation d’une courbe en dents de scie (fig. 10), dans laquelle aux points A, B, C, etc., il y a des variations considérables de pression sur un espace très réduit. De façon idéale, il y aurait une vraie discontinuité de pression, de densité et de vitesse de déplacement en A, B, C. En fait, il n’y a pas de discontinuité réelle mais la chute de pression ou de densité a lieu sur un intervalle d’une dizaine de libres parcours moyens du fluide si c’est un gaz (de l’ordre de 10^-4 cm dans un gaz, dans les conditions normales). Cet état de transition se déplace dans le milieu à une vitesse supérieure à la célérité habituelle du son. On l’appelle une onde de choc; elle peut provenir d’une explosion ou du déplacement d’un objet solide (par exemple un missile ou un avion) à une vitesse supérieure à la célérité du son. On peut étudier expérimentalement les ondes de choc dans un tube en faisant rompre brusquement une membrane séparant une région de haute pression et une région de basse pression. L’épaisseur du front de choc peut être mesurée par la réflexion de la lumière due à la variation de l’indice de réfraction sur l’onde de choc, ou en mesurant la variation de température. Des photos intéressantes du trajet de l’onde de choc sont données par l’interférométrie optique ^{[cf. AÉRODYNAMIQUE]}. La variation rapide de densité dans le front donne un déplacement des franges d’interférence. L’intensité d’une onde de choc est définie comme étant le rapport de la pression juste à l’avant de l’onde et de la pression juste à l’arrière de l’onde.

Production des sons

Vibrations des cordes

Sur une corde infiniment longue et flexible de masse 福^l par unité de longueur, soumise à une tension T le long de l’axe x , une déformation transversale (représentée par l’élongation 﨡) se propage d’après l’équation d’onde:

La solution de cette équation correspond à des ondes transversales se propageant le long de la corde à la célérité c = 連T/ 福^l .

Si la corde est finie, de longueur l et attachée à ses deux extrémités, la solution correspond à la superposition d’une série d’ondes stationnaires sinusoïdales appelées modes normaux de vibration, auxquels correspondent les fréquences: 益ⁿ = (nc )/(2 l ) où n est un entier.

L’importance relative des différents modes dépend essentiellement des conditions initiales, c’est-à-dire des méthodes utilisées pour exciter la corde: corde pincée (harpe, mandoline), frappée (piano) et raclée (violon). Chacune de ces méthodes donne des variations considérables dans la nature du son. Par exemple, lorsqu’une corde est pincée en son centre, tous les harmoniques pairs sont absents, ce qui altère beaucoup la qualité musicale du son. Si la corde est pincée près d’une de ses extrémités, tous les harmoniques sont donnés, ce qui améliore la qualité.

Le rendement d’une corde en énergie sonore dépend de son environnement, c’est-à-dire de la présence d’autres systèmes tels que des cavités résonantes ou des enceintes.

Le résonateur de Helmholtz est un bon exemple d’une cavité résonante. Dans sa forme idéale, il est constitué par une sphère creuse présentant une ouverture circulaire (d’un diamètre de l’ordre du dixième du diamètre de la sphère), et, en général, munie d’un col très court. Une source sonore présentée près du résonateur peut mettre en vibration l’air de l’ouverture. On peut considérer qu’il y a vibration de la couche d’air de l’orifice, l’air de la cavité jouant le rôle de ressort élastique et le rayonnement de l’énergie sonore celui de résistance.

L’amplification A est définie comme étant le rapport du carré de la pression acoustique à l’orifice et du carré de la pression acoustique au même point, en l’absence de résonateur. À la résonance, l’expression de A est:

Les résonateurs sont très utiles comme amplificateurs pour de nombreux types de sources et de récepteurs sonores.

Vibrations des membranes

Une membrane circulaire vibrante est une source sonore plus efficace qu’une corde puisqu’il s’agit d’un système à deux dimensions. L’équation du mouvement d’une membrane parfaitement élastique de densité superficielle 福^s , soumise à une tension superficielle S (force par unité de longueur perpendiculaire à la membrane) est de la forme:

x et y étant les coordonnées dans le plan de la membrane et 﨡 l’élongation perpendiculaire à son plan. La membrane étant circulaire, il est plus facile d’étudier le problème en coordonnées polaires et l’équation s’écrit:

avec c = 連S/ 福^s .

Les solutions de cette équation sont compliquées et font intervenir des fonctions de Bessel. Nous donnerons simplement les modes propres de vibration d’une membrane de rayon a , fixée rigidement à sa périphérie:

On notera que les modes d’ordre supérieur ne constituent pas une série d’harmoniques du mode fondamental v¹. Les ondes stationnaires qui s’établissent sur la membrane possèdent des lignes nodales qui sont des cercles ou des rayons dont l’existence peut être démontrée expérimentalement en recouvrant la membrane de poudre. Celle-ci tend à se rassembler le long des lignes nodales (fig. 11).

Vibrations longitudinales des verges

Considérons une verge rectiligne de section uniforme dont la longueur est grande par rapport à ses dimensions transversales. Soient Y et 福⁰ son module d’Young et sa masse volumique. Une petite déformation longitudinale (fig. 12) d’élongation 﨡 se propage selon l’équation:

La célérité de l’onde est donc: c = 連Y/ 福⁰.

Pour la plupart des solides durs, cette célérité est de l’ordre de 3 000 m/s pouvant néanmoins varier de 1 000 à 6 000 m/s selon la densité et l’élasticité du milieu. La résistance acoustique spécifique pour une onde longitudinale dans une verge solide est 福⁰c comme dans le cas des ondes de pression dans un fluide.

Une verge vibrante de longueur finie, servant de source sonore, doit satisfaire à certaines conditions aux limites. Cela conduit à la production d’ondes stationnaires identiques à celles existant dans un tuyau sonore. Si la verge vibre avec ses deux extrémités encastrées, c’est-à-dire si 﨡 = 0 pour x = 0 et x = l (l , longueur de la verge), on a pour les fréquences de vibration: 益ⁿ = nc /2 l .

En revanche, si une seule extrémité est encastrée et l’autre libre, les fréquences sont 益ⁿ = (n + 1/2) c /2 l . Un cas usuel est celui où la verge est fixée par son milieu. La fréquence fondamentale est c /2 l puisqu’il y a un nœud de déplacement au centre, mais les harmoniques pairs sont absents.

Vibrations de flexion et de torsion des verges

Un type de vibrations des verges, qui peut être plus important que les vibrations longitudinales, est celui où la déformation a lieu à angles droits avec la longueur de la verge (fig. 12). La propagation ne répond plus à l’équation d’onde simple (8). Cependant, on montre que la flexion peut se déplacer le long de la verge comme une onde harmonique simple à condition que la célérité soit une fonction de la fréquence. Ainsi la verge agit comme un milieu dispersif. La vitesse de phase est égale à:

où Y est le module d’Young et K le rayon de giration de la section de la verge normale au plan de flexion; comme précédemment, k est le nombre d’onde. L’énergie est transmise le long de la verge avec la vitesse de groupe.

Pour des basses fréquences, k ² K² 廉 1; et c est petit devant 連Y/ 福⁰, célérité des ondes longitudinales dans la verge; U est alors sensiblement double de c . D’autre part, pour les hautes fréquences (k ² K² 礪O 1), c tend vers 連Y/ 福⁰ et U également.

L’intérêt principal des vibrations de flexion des verges réside dans leur utilisation comme sources sonores. On a affaire à des verges encastrées d’une certaine façon. L’application des conditions aux limites adéquates donne le son fondamental et les sons d’ordre supérieur qui ne sont pas les harmoniques du son fondamental.

Une onde de torsion naît quand on déforme une verge solide circulaire ou un tube à angles droits par rapport à la longueur(fig. 12). À la distance x , la déformation est mesurée par l’angle de torsion . L’équation d’onde s’écrit:

où 猪 est le module de glissement ou coefficient de Lamé.

La célérité des ondes de torsion est: c = 連 猪/ 福⁰ qui est inférieure à celle des ondes longitudinales et en général supérieure à celle des ondes de flexion.

Vibrations des plaques et des diaphragmes

Une membrane est supposée avoir une flexibilité parfaite, mais une feuille solide ou une plaque aux constantes élastiques plus grandes possède en général une raideur supérieure. Par suite, la vitesse de propagation de déformations élastiques est habituellement plus grande dans une plaque que dans une membrane. La théorie des vibrations des plaques est très difficile. On donnera ici seulement les modes propres d’une plaque circulaire de rayon a fixée le long de la périphérie.

La fréquence fondamentale est:

l désignant l’épaisseur de la plaque, 福⁰ la masse volumique, 靖 le coefficient de Poisson.

Les fréquences caractéristiques d’ordre supérieur ne sont pas des harmoniques.

Pouvoir de rayonnement d’une source sonore

Pour qu’un système vibrant serve de source sonore, il faut qu’il mette en vibration le milieu ambiant (liquide ou gaz) et donc qu’il rayonne de l’énergie sonore. Il est clair que le pouvoir de rayonnement d’une telle source dépend aussi bien des propriétés du milieu que de celles de la source elle-même. On peut s’en rendre compte le plus facilement en prenant le cas d’une surface sphérique vibrant radialement. Si le rayon extérieur est a (surface S = 4 神a ²) et si la sphère vibre sinusoïdalement à la fréquence angulaire 諸, on peut montrer par une étude des ondes sphériques que le rayonnement de la sphère exerce une force de réaction qui a deux effets principaux: augmenter la masse effective de la sphère en vibration et son coefficient effectif d’amortissement. Ainsi, si on considère la sphère comme un oscillateur dans le vide, elle sera caractérisée par une masse mécanique m , un coefficient d’amortissement R et une raideur f . En tant qu’oscillateur dans un milieu matériel de densité 福⁰ la masse effective est augmentée de la quantité: m ^r = Z²S/ 諸 et le coefficient d’amortissement de la quantité: R = Z¹S. Dans ces expressions: Z¹ = ( 諸福⁰ka ²)/(1 + k ²a ²) est appelé la résistance acoustique spécifique de rayonnement à la surface de la sphère et Z² = ( 諸福⁰a )/(1 + k ²a ²) la réactance acoustique spécifique de rayonnement. Ce sont les composantes de l’impédance acoustique spécifique. Les quantités m ^r et R^r sont connues sous les noms respectifs d’inertie et de résistance de rayonnement.

Pour des basses fréquences (ka 廉 1) l’inertie de rayonnement est égale à trois fois la masse d’un volume du milieu égal à celui de la sphère; elle peut donc devenir appréciable et affecter par exemple la fréquence de résonance de la vibration. Par contre, la résistance de rayonnement est relativement faible.

D’autre part, pour les hautes fréquences (ka 拾 1), l’inertie de rayonnement devient négligeable et la résistance de rayonnement tend vers 4 神a ² 福⁰c . La résistance spécifique de rayonnement devient en fait 福⁰c , c’està-dire précisément la valeur observée pour une onde plane. Cela montre que, pour une amplitude donnée de la vitesse, la sphère vibrante est un émetteur sonore bien plus puissant à hautes fréquences qu’à basses fréquences, car la dissipation d’énergie sous forme de rayonnement augmente avec la fréquence comme l’indique la variation de la résistance de rayonnement. C’est une des raisons de l’intérêt des ultra-sons.

La sphère vibrante n’est pas d’ordinaire une source sonore pratique. Cependant, les considérations ci-dessus s’appliquent aussi bien aux membranes et diaphragmes et conduisent au résultat général – à savoir que les sources sonores de tous genres ont un pouvoir de rayonnement plus grand aux hautes fréquences qu’aux basses fréquences.

En outre, quelle que soit la fréquence, le pouvoir moyen de rayonnement dépend directement de la densité du milieu dans lequel la source émet. Cela signifie qu’il est de plus en plus difficile d’obtenir un rayonnement d’une source dans un milieu de densité de plus en plus faible. C’est là l’explication exacte de la célèbre expérience de la «sonnette sous une cloche à vide» plutôt que l’affirmation habituelle que le son n’est pas transmis par le vide. En fait, le son se propage sans dissipation anormale dans les gaz à basse pression; la difficulté principale est d’introduire le son dans le gaz.

Encyclopédie Universelle. 2012.